Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух различных лучей, исходящих из одной точки. В данном случае, эти лучи называются сторонами угла. Точка, являющаяся началом лучей, называется вершиной угла. На рисунке вы можете увидеть угол с вершиной в точке О , и сторонами k и m .
На сторонах угла отмечены точки А и С. Этот угол можно обозначить как угол AOC. В середине обязательно должно стоять название точки, в которой находится вершина угла. Также существуют и другие обозначения, угол О или угол km. В геометрии вместо слова угол часто пишут специальный значок.
Развернутый и неразвернутый угол
Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. То есть одна сторона угла является продолжением другой стороны угла. На рисунке нижк представлен развернутый угол О.
Следует отметить, что любой угол, разделяет плоскость на две части. Если угол не является развернутым, то одна из частей называется внутренней областью угла, а другая внешней областью этого угла. На рисунке ниже представлен неразвернутый угол и отмечены внешняя и внутренняя области этого угла.
В случае с развернутым углом любую из двух частей, на которые он делит плоскость, можно считать внешней областью угла. Можно говорить о положении точки относительно угла. Точка может лежать вне угла (во внешней области), может находится на одной из его сторон, либо может лежать внутри угла (во внутренней области).
На рисунке ниже, точка А лежит вне угла О, точка B лежит на одной из сторон угла, а точка С лежит внутри угла.
Измерение углов
Для измерения углов существует прибор называемый транспортиром. Единицей измерения угла является градус . Следует отметить, что каждый угол имеет определенную градусную меру, которая больше нуля.
В зависимости от градусной меры углы делятся на несколько групп.
Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые.
Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла.
Угол – это геометрическая фигура образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Единицы измерения углов: радиан и градус. Градус – это угол равный 1 / 360 полного угла. Один градус делится на 60 минут (обозначение: 1 0 = 60"); одна минута – соответственно на 60 секунд (обозначение: 1" = 60"").
Угол в 90 0 называется прямым; угол, меньший чем 90 0 , называется острым; угол больший чем 90 0 , называется тупым.
Две прямые называются взаимно перпендикулярными, если они образуют при пересечении прямой угол, Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB MK.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180 0 .
Два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Вертикальные углы равны.
Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.
Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
Задания с решением.
1. Найти величины смежных углов, если один из них на 20 0 больше другого.
Обозначим один из углов за х , тогда второй будет равен х +20 0 .Так как углы смежные, то их сумма равна180 0 .
Получаем уравнение х +(х +20 0)= 180 0. Тогда 2х =160 0 , х =80 0 .
80 0 +20 0 =100 0
Ответ: 80 0 и 100 0
2. . Даны два смежных угла. одного из этих углов и другого составляют в сумме прямой угол. Найти эти смежные углы.
Обозначим один из углов за х . Так как углы смежные, то их сумма равна180 0 . Тогда второй угол будет равен 180 0 – х .
Составим уравнение: х + (180 0 – х ) =90 0 .
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей 28.
Получим: 16х +7(180 0 – х )= 28·90 0
16х + 7·180 0 – 7х = 28·90 0
9х = -7·180 0 + 28·90 0 Делим обе части уравнения на 9.
х = –7·20 0 + 28·10 0
х = –140 0 + 280 0
х = 140 0 - первый угол, тогда второй равен 180 0 – 140 0 =40 0 .
Ответ: 140 0 и 40 0
3. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых на 280 0 больше четвертого угла. Найти эти четыре угла.
При пересечении двух прямых образовалось две пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны между собой.
Пусть х – величина одного из углов. Тогда смежный с ним угол будет равен 180 0 – х . Имеем четыре угла: х , х , 180 0 – х , 180 0 – х .
Составим уравнение: х + х + (180 0 – х ) = (180 0 – х )+ 280 0 .
Получаем 2х =280 0 , х =140 0 , 180 0 – 140 0 =40 0
Ответ: 140 0 , 40 0 , 140 0 и 40 0
4. Угол между прямыми a и b равен 17 0 , а угол между прямыми a и c равен 33 0
Найти угол между прямыми b и c.
а)
тогда (b,^c)= 17 0 + 33 0 =50 0
б)
тогда (b,^c)= 33 0 - 17 0 =16 0
Ответ: 50 0 или 16 0
5. Отрезки МР и ОК пересекаются в точке Е. Один из углов при вершине Е равен 110º. Найти угол КЕС, где ЕН – биссектриса угла РЕК.
В задаче возможны два варианта:
а)
тогда Ð КЕС= 70 0: 2 =35 0
б)
«Крошка сын к отцу пришел, и спросила Кроха: «А какие бывают углы?». Но отец, ответ забыл. Это очень плохо!».
В нашей статье мы предлагаем вспомнить уроки математики и найти ответы на вопросы Крохи.
Что такое угол
Что такое угол конечно легче показать, чем объяснить. Из начальных классов мы знаем, что плоский угол:
- Это геометрическая фигура.
- Она образована двумя сторонами – лучами.
- Лучи выходят из одной вершины – точки.
- Измеряется в градусах.
То есть, если на любой плоскости поставить точку, а затем из этой точки вывести два луча (луч – прямая имеющая начало, но не имеющая конца), то получим угол, и не один, а два. Это потому что, лучи поделили плоскость на две части. У нас образовалось два угла - внутренний и внешний.
Обозначение углов
Обозначается угол в математике вот таким значком – «˪» и греческими буквами: β, δ, φ. Так же обозначать углы можно маленькими или большими латинскими буквами. Строчными (d, c, b) обозначают лучи образующие угол, следовательно, название будет складываться из двух букв и значка - ˪ab. Большие латинские буквы обозначают три точки угла: две на сторонах и одна вершина (˪ DEF). Причем, буква вершины всегда будет находиться в середине названия, а как читать DEF или FED, это уже разницы не имеет.
Виды углов
В зависимости от градусов (мерной величины) углы разделяют на:
- Острые (> 90 градусов);
- Прямые (ровно 90);
- Тупые (180);
- Развернутый (равен 180);
- Невыпуклый (более 180, но менее 360);
- Полный (360);
Все углы, которые не являются прямыми или развернутыми, называются косыми.
Еще, какие есть углы?
- Смежные – одна сторона у них общая, а другие лежат, не совпадая, на одной плоскости. Сумма таких углов всегда будет равна 180.
- Вертикальные – углы образованные двумя пересекающимися прямыми и общих сторон они не имеют, но их лучи выходят с одной точки. То есть, сторона одного угла есть продолжение другого. Такие углы равны.
- Центральный – угол, вершина которого является центром окружности.
- Вписанный угол. Его вершина находится на окружности, а лучи, образующие его, пересекают эту окружность.
Теперь вы знаете, какой прямой угол, а акже сможете отличить, какой угол острый. Запомнить это не сложно, да и другие виды углов тоже имеют характерные названия.
Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения .
Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.
Определение 2
Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч , а точка O – начало луча .
Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .
Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.
Перейдем к понятию определения угла.
Определение 3
Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.
Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.
Определение 4
Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым .
На рисунке ниже изображен развернутый угол.
Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .
Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .
Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной - ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.
Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла , другая – внешняя область угла . Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.
При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.
Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.
Определение 5
Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.
Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.
Определение 6Два угла называют смежными , если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.
На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.
Определение 7
Два угла называют вертикальными , если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.
При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.
Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.
Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.
Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные .
Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.
Развернутые углы являются равными.
Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.
Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.
Чаще всего используют понятие градус .
Определение 8
Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.
Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.
Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.
Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты.
Определение 9
Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.
Определение 10
Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.
Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « " », а секунды « "" ». Имеет место обозначение:
1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,
а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 " 59 "" .
Определение 11
Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 " 59 "" . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .
Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».
В геометрии используется мера угла из интервала (0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.
Острый угол измеряется в интервале (0 , 90) , а тупой – (90 , 180) . Ниже наглядно изображены три вида углов.
Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .
Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.
Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны . Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С, С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.
Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом . Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.
Определение 12
Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.
На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой, с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В. По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А.
Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.
Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.
На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.
Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.
Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.
Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Измерение углов сводится к измерению соответствующих им дуг следующим образом. За единицу углов принимают угол, составляющий 1/90 часть прямого угла. Эту единицу называют угловым градусом .
За единицу дуг одинакового радиуса принимают такую дугу того же радиуса, которая соответствует центральному углу , равному угловому градусу. Такая дуга называется дуговым градусом .
Так как прямому центральному углу соответствует 1/4 окружности, то угловому градусу соответствует 1/90 четверти окружности. Значит, дуговой градус составляет 1/360 целой окружности.
Пусть требуется измерить угол AOB, то есть найти отношение этого угла к угловому градусу MNP.Для этого опишем из вершин углов дуги СD и EF произвольным, но одинаковым радиусом.
Тогда будем иметь:
Левое отношение этой пропорции - число, измеряющее угол AOB в угловых градусах Правое отношение - число, измеряющее дугу СD в дуговых градусах.
Следовательно, эту пропорцию можно выразить так: число, измеряющее угол в угловых градусах, равно числу, измеряющему соответствующую дугу в дуговых градусах.
Для краткости эту фразу выражают обыкновенно так: Угол измеряется соответствующей ему дугой.
Градусы угла или дуги подразделяются на 60 равных частей, называемых минутами (угловыми или дуговыми).
Минуту разделяют на 60 равных частей, называемых секундами (угловыми или дуговыми).
Из сказанного выше следует, что в угле содержится столько угловых градусов, минут и секунд, сколько в соответствующей ему дуге заключается дуговых градусов, минут и секунд.
Если, например, в дуге СD содержится 40 град. 25 мин. и 13,5 секунды (дуговых), то и в угле AOB заключается 40 град. 25 мин. 13,5 сек. (угловых). Это выражают сокращенно так:
∠AOB = 40°25’ 13,5’’,
обозначая значками (°), (‘), (‘’) соответственно градусы, минуты и секунды.
Так как прямой угол содержит 90°, то:
1. сумма углов всякого треугольника равна 180 °;
2. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;
3. каждый угол равностороннего треугольника равен 60°;
4. сумма углов выпуклого многоугольника , имеющего n сторон, равна 180° (n - 2).
Транспортир - это прибор, употребляемый для измерения углов, представляет собой полукруг, дуга которого разделена на 180 градусов.
Чтобы измерить угол AOB, накладывают на него прибор так, чтобы центр полукруга совпал с вершиной угла, а радиусом OM совпал со стороной AO. Тогда число градусов, содержащееся в дуге PN, покажет величину угла AOB. При помощи транспортира можно также начертить угол, содержащий данное число градусов.
Конечно, на таком приборе нет возможности отсчитывать не только секунды, но и минуты. Измерение и построение можно выполнить только приближенно.
